Действительно, большинство школьных учебников содержательно претерпели изменения, были добавлены научные открытия, сделанные сравнительно недавно. Так, в школьном курсе физики стали изучать достижения XIX века – элементы квантовой механики. А в школьном курсе биологии рассматривают открытую в середине XX века дезоксирибонуклеиновую кислоту (ДНК). Содержание же школьного курса математики практически останавливается на разделах, открытых до XVII–XVIII веков. При этом школьный курс математики включает разделы, которые большинству выпускников не будут нужны не только в повседневной жизни, но и в будущей профессиональной деятельности.

Так какая модернизация требуется содержанию школьного математического образования? В поисках ответа на этот вопрос возникает другой: каковы цели современного математического образования, претерпели ли изменение они?

Основная цель современного школьного математического образования – не набить головы учеников информацией, которая якобы понадобится им в дальнейшей жизни, а научить их самостоятельно ее находить, анализировать, делать выводы. И перед школьным предметом «математика» стоит серьёзная задача – обучение не только содержанию предмета, но и самому процессу учения.

В истории школьного математического образования уже был период, когда, модернизируя его, стремились повысить уровень научности. В конечном итоге это привело к существенному перекосу в сторону формализма и схоластики, к бессмысленному заучиванию формул. Когда эта проблема была осмыслена педагогической общественностью, стало крепнуть представление о том, что школьная математика не наука, а учебный предмет со всеми вытекающими отсюда последствиями.

Математика в школе – не наука и даже не основы науки, а учебный предмет.

В учебном предмете не обязательно соблюдать законы математики как науки, более важны законы педагогики, дидактики и особенно психологии.

Кроме того, школьная математика – учебный предмет, обладающий колоссальным гуманитарным потенциалом. Математика в школе – преимущественно гуманитарный учебный предмет общекультурной направленности. Это предмет, позволяющий человеку правильно ориентироваться в окружающей действительности, и «ум в порядок приводит». Владение математическим языком и математическим моделированием позволит человеку в будущем лучше ориентироваться в природе и обществе.

В наше время владение хотя бы азами математического языка – непременный атрибут культурного человека. Если основное назначение обыденного языка – служить средством общения, то основное назначение математического языка – способствовать организации деятельности, что очень важно для культурного человека. При эффективной организации процесса обучения математике уроки математики будут способствовать развитию речи обучаемого не в меньшей степени, чем уроки русского языка и литературы.

Если на уроках русского языка и литературы школьников обучают собственно речи, то на уроках математики – организации речи. Математика по своей внутренней природе имеет богатые возможности для воспитания мышления и характера учащихся.

Размышляя о необходимости введения в школьный курс математики новых понятий или даже разделов, не стоит забывать и историко-генетический фактор. Наиболее сложные понятия математики практически всегда проходили в своем становлении три стадии: наглядное представление, рабочий уровень восприятия, формальное определение. Причем переход с уровня на уровень зачастую был весьма длительным по времени и болезненным. Понятия, которые сложно зарождались в ходе развития математики, будут сложны и в восприятии и усвоении для обучающихся. Вводить новые понятия следует при выполнении следующих условий:

1) если у учащихся накопился достаточный опыт для адекватного восприятия вводимого понятия, причем опыт по двум направлениям: вербальный – опыт полноценного понимания всех слов, содержащихся в определении, и генетический – накопленный опыт использования понятия на наглядно-интуитивном и рабочем уровнях;

2) если у учащихся появилась потребность в формальном определении понятия.

Надо предоставить им возможность пережить это, не спеша переходить с уровня на уровень. Большинство математических открытий последних трёх столетий таковы, что обеспечить выполнение этих условий на этапе обучения в школе практически невозможно, а следовательно, бесполезно с точки зрения развития обучающегося. Новое математическое понятие должно появляться мотивированно, только тогда, когда в нём возникает потребность. Эта потребность может быть вызвана появлением новой математической модели. Немотивированное введение нового понятия провоцирует запоминание без понимания. А это ведёт к обучению без развития.

Тщательным образом следует подходить и вопросу определения уровня строгости изложения материала. Определять его следует, пожалуй, в соответствии с совокупностью следующих положений:

1) Если некоторое математическое утверждение в принципе недоказуемо в школе, то оно принимается без доказательства. Таким, например, является утверждение о том, что все элементарные функции непрерывны всюду, где они определены. Доказательство может быть заменено геометрическими иллюстрациями с правдоподобными рассуждениями. Например, теорема о достижении непрерывной функцией на отрезке своих наименьшего и наибольшего значений.

2) Если некоторое математическое утверждение в принципе доказуемо в школе, но это доказательство искусственно, технически сложно и не имеет существенного развивающего значения, то оно не приводится. Например, теорему сложения для тригонометрических функций на базовом уровне общеобразовательной школы давать с доказательством не следует.

3) Если некоторое математическое утверждение в школе в принципе доказуемо, и это доказательство имеет развивающее значение, то его необходимо давать. Например, вывод уравнения касательной, вывод правил дифференцирования суммы и произведения. Для этих доказательств существуют чёткие алгоритмы. Разбиение доказательства на этапы способствует приобретению опыта планирования своих действий.

Изменения в современном мире породили понимание, что обучение и развитие можно соотнести с философскими категориями количества и качества. Так, обучение соотносится с количеством, а развитие – с качеством. Но в отличие от философии закон перехода количественных изменений в качественные в образовании не сработает, если не будет сделан сознательный перенос акцента с обучения на развитие. Эта мысль стара как мир: ещё более двух веков назад Иммануил Кант писал, что надо «учить не мыслям, а мыслить». В школьной же математике основной упор традиционно делается на формулах – «мыслях» – вот основное направление развития содержания математического образования будущего инженера.